美国高中几何2？
这题出得真是时候，我昨天刚好在教这个内容（虽然我是搞计算机的）。 先说答案：这个问题有无数解（无穷多）。 再说个人的一点疑惑：为什么美国中学的数学教育这么强调“定义”的重要性？
答主本人在美国本科和研究生都读过，但读的并不是数学院而是CS（所以没有系统学习微积分和拓扑学），因此对于“什么是几何”这个问题并没有什么清晰概念。不过根据我在美国这么多年混的经验来看，一般美国人(特别是文科）对数的想法就是“数字+计算”，比如3+1=4这样的（这种想法当然比较狭隘，但我个人觉得比国内大部分人要强很多了）；而“几何”在他们脑海里的印象就完全是另一个样子了：各种奇怪的多边形、线段、轨迹... 因为之前看过知乎上好多拿中文来黑美国的，说他们数学怎么怎么不行云云，所以我还是决定用英文来解释这个问题：What is Geometry？ Geometry就是“研究形状（shape）的理论”。那么什么又是“形（shape）”呢？这词太笼统，我们不如具体一点，把“形”定义为“集合X与它本身做差得到的集合”，即shapeless = {x-x|x}。这样“形”可以理解为所有“可加减”的元素组成的集合。（注意：这里为了讨论方便我把集合抽象成了元素，其实多数情况下geometry里的set是无理数集）
基于上面的定义，现在可以回答问题了：本题的答案是：无限多个。原因如下： 在一个普通的直角坐标系里，我们可以把每一个点表示成 (x，y) 的集合，其中x，y都是整数，这样点的差就可以写成 (x，y) - (u，v) = (x-u，y-v)。这两个式子一相加，由于任何两个整数的绝对值都是有限个整数之差，因此（x，y）-（u，v）的差一定是有限个整数的绝对值之差的组合。例如，当差是0时，就意味着x等于u且y等于v；而当差是一时，就等于（x-u）+（y-v）=1。于是我们就可以说（x，y）等于（u，v）加上（0，1）这一组。
现在考虑所有的点，也就是所有可能的（x，y）的集合。这些集合可以写成一长串，并且经过加减可以得到所有可能的（u，v）的集合。然而问题是，无论x，y如何变化，它们总是存在于同一个（x，y）集合中，也就是说上面的一长串集合最后会是一个环，而这个环的每一项与每两项的和都会归回到原点（0，0）上。因此不管我们怎么开始（随便取x，y的值），最终结果总会回到原点，这意味着所有的（x，y）都可以表示成（u，v）的集合。这就是无数多解的原因所在。